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<!DOCTYPE html>

<title>Einstein-Problem (Geometrie)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Einstein-Problem (Geometrie)</span></h1>

</header>

</div>

<p>Das <b>Einstein-Problem</b> ist ein <a href="Mathematik" title="Mathematik">mathematisches</a> Problem aus der <a href="Diskrete_Mathematik" title="Diskrete Mathematik">Diskreten Geometrie</a>. Dabei ist eine geometrische Form gesucht, die man in gedrehten, verschobenen oder <a href="Spiegelung_(Geometrie)" title="Spiegelung (Geometrie)">gespiegelten</a> Kopien ohne Überlappung aneinanderfügen kann, so dass die gesamte <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a> lückenlos damit bedeckt (<a href="Parkettierung" title="Parkettierung">parkettiert</a>) ist. Zusätzlich soll diese Form die Eigenschaft haben, dass damit keine Parkettierung mit periodisch wiederkehrendem Muster – wie auf einer Tapete – erzeugbar ist. Das Problem galt jahrzehntelang als ungelöst; 2023 wurden erstmals zwei Lösungen gefunden. Der Name des Problems ist eine humoristische Anspielung auf <a href="Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> und besagt, dass nur eine Form („ein Stein“) die Ebene in der eben beschriebenen Art parkettieren soll.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Details_des_Problems">Details des Problems</h2></div>

<p>Mathematisch formuliert, geht es beim Einstein-Problem darum, ob eine einzelne <a href="Parkettierung#Definitionen" title="Parkettierung">Kachel</a> (Protokachel) existiert, welche die <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">euklidische Ebene</a> ohne zusätzliche Regeln, die beim Zusammenfügen einzuhalten wären, parkettieren kann, aber ausschließlich auf <a href="Parkettierung#Periodische_Parkettierungen" title="Parkettierung">nichtperiodische</a> Weise. Eine Protokachel mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als <a href="Parkettierung#Parkettierungen_mit_aperiodischen_Protokacheln" title="Parkettierung">„aperiodisch“</a>. „<a href="Parkettierung#Periodische_Parkettierungen" title="Parkettierung">Periodisch</a>“ wäre in diesem Sinn eine Parkettierung, die sich analog zu einem Tapetenmuster (gemäß einer <a href="Ebene_kristallographische_Gruppe" title="Ebene kristallographische Gruppe">kristallographischen Gruppe</a>) wiederholt, das heißt, die in zwei verschiedenen (genauer: <a href="Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit" title="Lineare Unabhängigkeit">linear unabhängigen</a>) Richtungen geradlinig verschoben werden kann derart, dass die gesamte Struktur dabei auf sich selbst abgebildet wird (<a href="Symmetrie_(Geometrie)#Translationssymmetrie" title="Symmetrie (Geometrie)">Translationssymmetrie</a>). Bei einer nichtperiodischen Parkettierung gibt es keine zwei unabhängigen Translationssymmetrien.

</p><p>David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan und Chaim Goodman-Strauss konnten im März und Mai 2023 erstmals solche Protokacheln und die dazu nötigen Beweise vorlegen. Diese benötigen in Teilen Computer-Unterstützung.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

(2024 wurde diese Entdeckung auch in einer Fachzeitschrift veröffentlicht.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>)

Während die im März 2023 vorgestellte Kachel für eine Parkettierung auch gespiegelt verwendet werden muss, löst die im Mai präsentierte Kachel das Problem sogar unter der schärferen Anforderung, dass nur ebene Drehungen und Verschiebungen zulässig sind.

</p><p>Für eine aperiodische Monokachel hat sich im Englischen der deutsche Begriff „Einstein“ etabliert. Dieses Wortspiel mit den Wörtern „ein“ und „Stein“, stellvertretend für „eine (einzelne) Kachel“, wird dem deutschen Mathematiker <a href="Ludwig_Danzer" title="Ludwig Danzer">Ludwig Danzer</a> zugeschrieben; ein tatsächlicher Zusammenhang zur Forschung Einsteins besteht nicht.<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Das Problem kann auch als natürliche Erweiterung des zweiten Teils von <a href="Hilbertsche_Probleme" title="Hilbertsche Probleme">Hilberts achtzehntem Problem</a> angesehen werden, in dem nach einem einzelnen <a href="Polyeder" title="Polyeder">Polyeder</a> gefragt wird, das den dreidimensionalen <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Raum</a> lückenlos füllt, aber keine <a href="Raumf%C3%BCllung" title="Raumfüllung">Raumfüllung</a> durch dieses Polyeder <a href="Parkettierung#Isohedrale_Parkettierungen_und_anisohedrale_Kacheln" title="Parkettierung">isohedral</a> ist.<sup id="cite_ref-senechal_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-senechal-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Solche anisohedralen Polyeder wurden erstmals 1928 von <a href="Karl_Reinhardt_(Mathematiker)" title="Karl Reinhardt (Mathematiker)">Karl Reinhardt</a> vorgestellt.<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> 1932 fand <a href="Heinrich_Heesch" title="Heinrich Heesch">Heinrich Heesch</a> eine solche Lösung auch für die Ebene.

</p><p>Für die Entdeckung der sogenannten <i><a href="Quasikristall" title="Quasikristall">Quasikristalle</a></i>, die 2011 zu einem Nobelpreis in Chemie führte, war es wesentlich, dass man bereits in den 1970er-Jahren wichtige Ergebnisse zu aperiodischen Protokacheln gefunden hatte (Näheres dazu im folgenden Abschnitt.)

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lösungen_und_frühere_Lösungsansätze"><span id="L.C3.B6sungen_und_fr.C3.BChere_L.C3.B6sungsans.C3.A4tze"></span>Lösungen und frühere Lösungsansätze</h2></div>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

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/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><div class="thumb tright vl-mehrere-bilder" style="width:384px;"><div class="thumbinner"><div class="vl-mehrere-bilder-horizontal" style="width:122px;"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"></span></div></div><div class="vl-mehrere-bilder-horizontal" style="width:122px;"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"></span></div></div><div class="vl-mehrere-bilder-horizontal" style="width:122px;"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"></span></div></div><div style="clear:both;"></div>

<div class="thumbcaption" style="clear:both;text-align:left;">Das 14-seitige Polygon, in der Originalarbeit von Smith et al. als <b>Tile (1,1)</b> bezeichnet, ist ganz links abgebildet. Die <b>Spectre</b> (= Gespenst) genannten Versionen (Mitte, rechts) entstehen durch Modifizieren der Kanten und schließen Lösungen aus, die gespiegelte Kacheln enthalten.</div></div></div>

<p>2023 wurden in kurzem Abstand zwei Lösungen des Einstein-Problems von Smith et al. vorgeschlagen. Vorher war es unklar, wie eine solche aussehen könnte. Die bis dahin besten Approximationen für das Problem benötigten entweder zusätzliche Parkettierungsregeln wie Dekorationen, waren unzusammenhängend, oder es mussten Überlappungen bzw. Lücken im Parkett in Kauf genommen werden. Die von Smith et al. gefundenen Lösungen sind dagegen zusammenhängend, lückenlos und kommen ohne zusätzliche Parkettierungsregeln aus. Um die Ebene lückenlos mit Kopien der Hut-Kachel zu parkettieren, müssen auch unendlich viele gespiegelte (umgedrehte) Kacheln verwendet werden. Gleichzeitig impliziert der Ansatz die Existenz einer Familie von etwas anders geformten Monokacheln mit gleichen Eigenschaften. In dem unter „Weblinks“ angegebenen ersten Artikel von M. Bischoff wird dies durch eine Animation visualisiert. Aus eben diesem Ansatz weiterer Formen gewannen die Autoren um David Smith ihre zweite Lösung des Einstein-Problems, ein unregelmäßiges <a href="Konvexe_Menge" title="Konvexe Menge">nichtkonvexes</a> 14-seitiges Polygon, aus dem man durch Kantenmodifizierung die sogen. Spectre-Kachel erhält.

</p><p>Bis März 2023 war das bekannteste Beispiel für aperiodische Protokacheln in der Ebene die sogenannte <a href="Penrose-Parkettierung" title="Penrose-Parkettierung">Penrose-Parkettierung</a> (1974), welche allerdings einen Satz aus zwei verschiedenen Protokacheln benötigt. Ab Mitte der 1970er Jahre begann also die Suche nach der aperiodischen Monokachel, die fast 50 Jahre andauerte.

</p><p>1988 entdeckte Peter Schmitt ein Polyeder zur nichtperiodischen lückenlosen Parkettierung des dreidimensionalen euklidischen Raums. Während keine dieser Raumfüllungen eine Parallelverschiebung als Symmetrie zulässt, weisen jedoch einige eine Schiefsymmetrie auf, die als eine Kombination aus einer Parallelverschiebung und einer Rotation über ein irrationales Vielfaches der <a href="Kreiszahl" title="Kreiszahl">Kreiszahl</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy"></span> (<a href="Pi_(Buchstabe)" title="Pi (Buchstabe)">Pi</a>) verstanden werden kann, sodass keine Anzahl von wiederholten Operationen jemals eine reine Parallelverschiebung ergibt. Diese Konstruktion wurde später von <a href="John_Horton_Conway" title="John Horton Conway">John Horton Conway</a> und Ludwig Danzer zu einem <a href="Konkav_und_konvex" title="Konkav und konvex">konvexen</a> aperiodischen Raumfüller, der Schmitt-Conway-Danzer-Kachel, erweitert (siehe Abbildung). Das Vorhandensein der Schiefsymmetrie führte zu einer Neubewertung der Anforderungen an die Nichtperiodizität.<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Chaim Goodman-Strauss schlug vor, eine Kachelung als stark aperiodisch zu bezeichnen, wenn sie keine unendliche <a href="Zyklische_Gruppe" title="Zyklische Gruppe">zyklische Gruppe</a> <a href="Euklidische_Transformation" title="Euklidische Transformation">euklidischer Transformationen</a> als Symmetrien zulässt, und nur Kachelsätze, die eine starke Aperiodizität erzwingen, als stark aperiodisch zu bezeichnen, während andere Sätze als schwach aperiodisch zu bezeichnen sind.<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>1996 konstruierte Petra Gummelt eine dekorierte zehneckige Protokachel und zeigte, dass diese die Ebene zwingend nichtperiodisch parkettieren kann, wenn zwei Arten von Überlappungen zwischen Kachelpaaren zugelassen werden (siehe Abbildung).<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Wegen der unzulässigen Überlappungsregeln löst die Gummelt-Kachel das Problem nicht.

</p><p>Ein weiterer Lösungsansatz aus dem Jahr 2010 stammt von Joshua Socolar und Joan Taylor.<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Die Parkettierung der euklidischen Ebene mit der Socolar-Taylor-Kachel erfordert Zusammenfügungsregeln, welche die relative Ausrichtung von zwei Kacheln einschränken und auf gezeichnete Dekorationen der Kacheln verweisen. Diese Regeln gelten für Paare nicht benachbarter Kacheln. Alternativ kann eine nicht dekorierte, jedoch unzusammenhängende Kachel ohne Zusammenfügungsregeln erstellt werden (siehe Abbildung). Diese Variante der Socolar-Taylor-Kachel ist aus verschiedenen Protokacheln in fester Anordnung zusammengesetzt (insgesamt 19) und ist damit nach Definition keine abgeschlossene topologische Scheibe mehr. Diese Konstruktion kann wiederum auf ein raumfüllendes, zusammenhängendes Polyeder ohne Zusammenfügungsregeln erweitert werden. Die damit möglichen Raumfüllungen sind allerdings in einer Richtung periodisch, weshalb die dreidimensionale Socolar-Taylor-Kachel nur schwach aperiodisch ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Trivia">Trivia</h2></div>

<p>Ein Wettbewerb des <i>National Museum of Mathematics (MoMath)</i> in New York Ende 2023 erbrachte sehr kreative Anwendungsmöglichkeiten der Hut-Kachelform.<sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a href="Manon_Bischoff" title="Manon Bischoff">Manon Bischoff</a>: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/news/hobby-mathematiker-findet-lang-ersehnte-einstein-kachel/2124963">Hobby-Mathematiker findet die lang ersehnte Einstein-Kachel</a></i>, spektrum.de, 29. März 2023</li>

<li>Manon Bischoff: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/news/vampir-kachel-loest-den-einstein-ab/2146095">Vampir-Kachel löst den »Einstein« ab</a></i>, spektrum.de, 31. Mai 2023</li>

<li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://cs.uwaterloo.ca/~csk/spectre/">Spezielle Website zu "A chiral aperiodic monotile"</a></i>, Mai 2023</li>

<li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://hedraweb.wordpress.com/">Blog von David Smith</a></i>, 24. April 2016 bis heute</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"> Belege dafür sind die ersten drei hier angegebenen Literaturquellen</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss: <i>An aperiodic monotile</i>, 2023, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.newscientist.com/article/2365363-mathematicians-discover-shape-that-can-tile-a-wall-and-never-repeat/NewScientist:">Mathematicians discover shape that can tile a wall and never repeat</a>, Preprint: <a rel="nofollow" class="external free" href="https://arxiv.org/abs/2303.10798">https://arxiv.org/abs/2303.10798</a></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss: <i>A chiral aperiodic monotile</i>, 2023, Preprint: <a rel="nofollow" class="external free" href="https://arxiv.org/abs/2305.17743">https://arxiv.org/abs/2305.17743</a></span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">An aperiodic monotile</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Combinatorial Theory</cite>. 4. Jahrgang, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1</span>, 2024, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%222766-1334%22&key=cql">2766-1334</a></span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.5070/C64163843">10.5070/C64163843</a></span> (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://escholarship.org/uc/item/3317z9z9">escholarship.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Einstein-Problem+%28Geometrie%29&rft.atitle=An+aperiodic+monotile&rft.au=David%26%2332%3BSmith%2C%26%2332%3BJoseph+Samuel%26%2332%3BMyers%2C%26%2332%3BCraig+S.%26%2332%3BKaplan%2C+...&rft.date=2024&rft.doi=10.5070%2FC64163843&rft.genre=journal&rft.issn=2766-1334&rft.issue=1&rft.jtitle=Combinatorial+Theory&rft.volume=4.+Jahrgang" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">A chiral aperiodic monotile</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Combinatorial Theory</cite>. 4. Jahrgang, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>2</span>, 2024, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%222766-1334%22&key=cql">2766-1334</a></span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.5070/C64264241">10.5070/C64264241</a></span> (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://escholarship.org/uc/item/4xn41982">escholarship.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Einstein-Problem+%28Geometrie%29&rft.atitle=A+chiral+aperiodic+monotile&rft.au=David%26%2332%3BSmith%2C%26%2332%3BJoseph+Samuel%26%2332%3BMyers%2C%26%2332%3BCraig+S.%26%2332%3BKaplan%2C+...&rft.date=2024&rft.doi=10.5070%2FC64264241&rft.genre=journal&rft.issn=2766-1334&rft.issue=2&rft.jtitle=Combinatorial+Theory&rft.volume=4.+Jahrgang" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Bernhard Klaassen: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Forcing nonperiodic tilings with one tile using a seed</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">European Journal of Combinatorics</cite>. 17. Jahrgang, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1</span>, 2022, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>142–157</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/j.ejc.2021.103454">10.1016/j.ejc.2021.103454</a></span>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/2109.09384">2109.09384</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Einstein-Problem+%28Geometrie%29&rft.atitle=Forcing+nonperiodic+tilings+with+one+tile+using+a+seed&rft.au=Bernhard%26%2332%3BKlaassen&rft.date=2022&rft.doi=10.1016%2Fj.ejc.2021.103454&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=European+Journal+of+Combinatorics&rft.pages=142-157&rft.volume=17.+Jahrgang" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-senechal-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-senechal_7-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Marjorie Senechal: <cite style="font-style:italic">Quasicrystals and Geometry</cite>. paperback ed. with corrections. <a href="Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, 1996, ISBN 0-521-57541-9, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>22–24</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Einstein-Problem+%28Geometrie%29&rft.au=Marjorie+Senechal&rft.btitle=Quasicrystals+and+Geometry&rft.date=1996&rft.edition=paperback+ed.+with+corrections&rft.genre=book&rft.isbn=0521575419&rft.pages=22-24&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">Karl Reinhardt: <i>Zur Zerlegung der euklidischen Räume in kongruente Polytope</i> in: <i>Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften.</i> 1928, S. 150–155.</span>

</li>

<li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">Charles Radin: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Aperiodic tilings in higher dimensions</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic"><a href="Proceedings_of_the_American_Mathematical_Society" title="Proceedings of the American Mathematical Society">Proceedings of the American Mathematical Society</a></cite>. 123. Jahrgang, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>11</span>. American Mathematical Society, 1995, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>3543–3548</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307/2161105">10.2307/2161105</a></span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Einstein-Problem+%28Geometrie%29&rft.atitle=Aperiodic+tilings+in+higher+dimensions&rft.au=Charles%26%2332%3BRadin&rft.date=1995&rft.doi=10.2307%2F2161105&rft.genre=journal&rft.issue=11&rft.jtitle=Proceedings+of+the+American+Mathematical+Society&rft.pages=3543-3548&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft.volume=123.+Jahrgang" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite">Chaim Goodman-Strauss: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://comp.uark.edu/~strauss/papers/survey.pdf"><i>Open Questions in Tiling.</i></a> 10. Januar 2000,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 24. März 2007</span> (englisch).</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AEinstein-Problem+%28Geometrie%29&rft.title=Open+Questions+in+Tiling&rft.description=Open+Questions+in+Tiling&rft.identifier=&rft.creator=Chaim%26%2332%3BGoodman-Strauss&rft.date=2000-01-10&rft.language=en"> </span></span>

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<li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text">Petra Gummelt: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Penrose Tilings as Coverings of Congruent Decagons</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Geometriae Dedicata</cite>. 62. Jahrgang, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1</span>, 1996, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1–17</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/BF00239998">10.1007/BF00239998</a></span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Einstein-Problem+%28Geometrie%29&rft.atitle=Penrose+Tilings+as+Coverings+of+Congruent+Decagons&rft.au=Petra%26%2332%3BGummelt&rft.date=1996&rft.doi=10.1007%2FBF00239998&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=Geometriae+Dedicata&rft.pages=1-17&rft.volume=62.+Jahrgang" style="display:none"> </span></span>

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<li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text">Joshua E. S. Socolar, Joan M. Taylor: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">An Aperiodic Hexagonal Tile</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Journal of Combinatorial Theory, Series A</cite>. 118. Jahrgang, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>8</span>, 2011, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>2207–2231</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/j.jcta.2011.05.001">10.1016/j.jcta.2011.05.001</a></span>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1003.4279">1003.4279</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Einstein-Problem+%28Geometrie%29&rft.atitle=An+Aperiodic+Hexagonal+Tile&rft.au=Joshua+E.+S.%26%2332%3BSocolar%2C%26%2332%3BJoan+M.%26%2332%3BTaylor&rft.date=2011&rft.doi=10.1016%2Fj.jcta.2011.05.001&rft.genre=journal&rft.issue=8&rft.jtitle=Journal+of+Combinatorial+Theory%2C+Series+A&rft.pages=2207-2231&rft.volume=118.+Jahrgang" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-13">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20231212123758/https://momath.org/hatcontest/"><i>The Einstein mad Hat Awards.</i></a> Archiviert vom <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r250917974">

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